解析法

關于散射問題的確定解，只有某些特殊幾何形狀的散射體，才找得到確定解。對于單個球面不連續性，由于在球面坐標系中，偏微分方程是獨立的，因此其散射問題有特定解。研究成果參見參考文獻[16~18]。同樣，無限長圓柱體的彈性波散射問題可在圓柱形坐標系中求得確定解。

對于一個占據了半個平面的二維缺陷(裂紋)，也能夠得到確定解。此處對裂紋進行了理想化處理，分別描述成剛性裂紋及弱裂紋。剛性裂紋指的是裂紋中充滿了剛性物質，因此在裂紋的表面位移為零；弱裂紋指的是裂紋內部是空的，因此在裂紋的表面應力為零。Fridman首先給出了剛性半無限大平面裂紋的確定解，弱裂紋的確定解是由Maue給出的。半無限大平面問題能夠獲得精確求解的原因，是它的位移平行于半無限大平面的分隔邊界，因而需要解決的問題其實是一個二維問題。其他形狀的裂紋都不存在確定解。很明顯對于實際邊界條件的描述需要進行更多的理論研究。同時還需要指出，所謂的確定解和大多數可用的近似解都是針對無限大彈性介質中的裂紋的，同樣也不是實驗時的真實情況。

除了對于上述特殊情況的分析，一般性的散射理論給出了更多有用的結果。它們同其他聲波理論領域里人們所熟悉的定理是相似的。其中人們非常熟悉的“光學定理”，揭示出了被散射體散射和吸收的總能量同聲波作用區域中沿聲波入射方向(平行于聲波入射方向)散射波幅度之間的關系。Tan和Varadan對該問題進行了研究，也可以參考Gubeinatis等人 的研究結果。另一個非常有應用價值的研究成果是互易性定理。該關系將采用不同的超聲波發射探頭得到的散射波結果聯系了起來。Tan和Varadan 也對該問題進行了研究。

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