某些物理現象需要用一個時間極短,但取值極大的函數模型來描述。例如,力學中的瞬間沖擊力,電學中的雷擊電閃,數字通信中的抽樣脈沖等?!皼_激函數”的概念就是以這類實際問題為背景而引出的。
沖激函數可由不同的方式來定義。首先分析矩形脈沖如何演變為沖激函數。圖4-2a給出了寬為 ,高為1/ 的矩形脈沖,當保持矩形脈沖面積 (1/ )=1不變,而使脈寬趨近于零時,脈沖幅度必趨于無窮大,此極限情況即為單位沖激信號,常記作 , 又稱為“ 函數”。
單位沖激函數用箭頭表示,如圖4-2b所示。它表明:(t) 只在t=0點有一“沖激”,在t=0點以外各處函數值都是零,且沖激的面積為1。即對于任意實數,t≠0時(t)=0, 且 。
如果矩形脈沖的面積不是固定的1,而是a,則表示一個沖激強度為a倍單位值的 函數,即a (t),
如果單位沖激信號 (t)與一個在t=0點連續的信號f(t)相乘,則乘積僅在t=0處得到f(0) (t)其余各點的乘積均為零,于是對于沖激函數有如下性質:
類似地,對于延遲t0的單位沖激信號有
以上兩式表明了沖激信號的抽樣特性(或稱“篩選”特性)。根據這一特性,可以將任意的連續時間信號表示為無窮多個不同時間延遲t 的沖激信號的加權積分,即將任意信號分解為無窮多個沖激信號的疊加,這體現了信號分解的思想。
將連續信號f(t)近似分解為如圖4-3所示的矩形脈沖之和。當t=時,連續信號近似為圖中陰影部分所示的矩形脈沖信號。當脈沖寬度 趨近于零時,這個脈沖信號可近似看做時刻的 函數,這個沖激函數的強度(面積)為f( )。因此可將f(t)分解為無窮多個強度不同的 函數的疊加,即
對于任一LTI系統,當該系統的輸入為一單位沖激信號 (t),時,此時系統的輸出可以唯一確定地表征該系統,這個輸出被稱為系統的單位沖激響應h(t)。如果將系統的輸入x(t)分解為無窮多個強度不同的 函數的疊加,根據LTI系統的非時變性和線性,輸出信號可表示為無窮多個強度不同的沖激響應h(t)的疊加,則系統的輸出y(t)就可表示為
所以,如果知道了LTI系統的單位沖激響應h(t),那么對于任一輸入x(t),都可以通過上式求得輸出y(t),即。從而單位沖激響應h(t)可完全表征線性非時變系統的特性。
在反射法超聲檢測過程中,帶有缺陷信息的試件或反射體就可看做系統,超聲波的入射可視為系統的輸入,反射波可視為系統的輸出。當然,具有 函數性質的入射超聲波是不可能得到的,因為沒有如此理想的超聲波換能器可以發射持續時間趨近于零的超聲波脈沖。即使可以實現,那么入射的超聲波也會因能量太小而迅速衰減掉。所以,通常無法直接得到唯一確定表征被測試件特性的單位沖激響應h(t)。但通過一種基于頻譜分析的數據處理方法,可以間接得到試件的單位沖激響應,極大提高了檢測分辨力。
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